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一、证明题

1． 设f 、g 均为定义在[a, b]上的有界函数. 证明:若仅在[a, b]中有限个点处

在[a, b]上可积时, g 在[a, b]上也可积, 且

【答案】设f （x ）与g （x ）在[a, b]上的值仅在k 个点

处不同, 记

, 使当

, 则当f

f x ）, 由于（在[a, b]上可积. 存在

时, 有

, 则当

时, 有

当

时,

, 所以上式

中至多仅有k 项不为0, 故

这就证明g （X ）在[a, b]可积, 且 2． 设

为递减正项数列. 证明:级数

与

与

.

同时收敛, 同时发散.

和

. 有

【答案】设正项级数的部分和分别是.

由此知, 若又因为

收敛, 则有上界, 从而, 有上界, 即有上界, 因此收敛.

由此知, 若于是

3． 证明:若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割, 则T’, 所以我们只需证p=l的情形.

在T 上添加一个新分点, 它必落在T 的某一小区间内, 而且将分为两个小区间, 记作

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收敛, 则有上界, 故也收敛.

与同时收敛, 同时发散.

【答案】设T 增加p 个分点得到T’, 将p 个新分点同时添加到T , 和逐个添加到T , 都同样得到

与

但T 的其他小区间

仍旧是新分割

所属的小区间,

因此,

比较一项换为后者中的

故

»

与的各

个被加项, 它们之间的差别仅仅是前者中的

两项. 又因函数

在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅,

即有

即

就有

一般的, 对增加一个分点得到

这里

4

． 证明:闭区间

【答案】设

:设

, 不妨设

,

故

的全体聚点的集合是

_ 本身.

中有无穷多个实数, 故a 是

则

中的无穷多个点,

故为

, 则

的一个聚点. 总之

. 即不是本身.

的聚点, 即

的一个聚点. 同理, b 也是

的全体聚点的集合是M.

则

由实数集的稠密性知,

集合的一个聚点.

设

,

不妨设

故的任意邻域内都含有

设. 故综上所述,

, 令

,

即闭区间

的全体聚点的集合是

5． 证明施瓦茨不等式:若

f （x ）和

g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

, 因为

所以

若

f x ）=0, 等式成立; 若则（即

故

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. 即

, 上式是关于t 的二次三项式, 且非负, 于是有判别式,

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6． 试证明

【答案】

数集为对于任意一个正数M , 令

有上界而无下界

. 对任意的

而

故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因

二、解答题

7． 求极限

【答案】应用泰勒公式得

8． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？

【答案】

设（1）若

为

f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.

内由拉格朗日中值定理有

这与

为可去间断点是矛盾的,

故F （x ）不存在.

为跳跃间断点.

成立. 而

这与 9． 求

【答案】

为跳跃间断点矛盾, 故原函数仍不存在.

（2）若

为可去间断点.

, 在和x 之间. 而

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在

反证法:若f

（x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有

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