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一、证明题

1． 设f :是否必为闭集?

【答案】不一定, 反例: （1）对于连续函数（2）对于连续函数

2． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在[a, b]上有定义,

且

则f （x ）在[a, b]上可积; （2）函数【答案】（1）为g （x ）可积,

所以存在[a, b]的某一分割T , 使得幅. 设

为f （x ）在

, 其中是g （x ）在小区间

上的振

上的振幅, 则对分割T 有

所以f （x ）在[a, b]上可积.

（2）易知f （x ）在[0, 1]上有无穷多个间断点:两个区

间

和

因为

f x ）, 所以（在

上可积, 于是对上述

f x ）上只有有限个间断点, 又（在, 存在

的分割, 使得

.

把

-与0.

, 将区间[0, 1]分成

存在[a, b]上的可积函数g （x ）, 使

得|为开集, 但f （A ） = [0, 1）不是开集.

为开集, 但f （B ） = （0, 1）不是闭集.

为连续函数

为任意开集

' 为任意闭集, 试问, f （A ）是否必为开集?f （B ）

在[0, 1]上可积.

, 存在[a, b]上的可积函数g （x ）, 使得

因

上有界, 所以f （x ）在

与合并构成[0, 1]的分割T , 则有

即f （x ）在[0, 1]上可积. 3． 证明:

【答案】令

, 其中

, 因为

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所以函数f （x ）在所以

4． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

，因为

收敛，所以

从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0,

1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时，

由于

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛. 在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

, 即

上是凸函数. 因此

.

, 而

,

二、解答题

5．

计算曲面积分所围的立体的表面的外侧.

【答案】设S 1, S 2,

S3分别为S 的上、下底面和圆柱侧面, 则

记S 1+S

2在

xOy 平面上的投影区域为D xy , 则

在S 3上,

而S 3在yOz 平面上的投影区域D yz :

故

从而曲面积分

, 其中S 是曲面

及两个平面z=R, z=-R （R>0）

6． 求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V （如图）在xOy 面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分, 所以V 的体积

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图

7． 设

（1）垂直于x 轴； （

2）平行于z 轴； （3）恒为零向量. 【答案】 （1

）

即2x=3xy.

（2）若gradu 平行于z 轴，则

（常数）

即

（3）

gradu 恒为零向量，则

即

解得

|

或

8． 求出下列极限

, 并指出哪些是无穷小数列:

（1）

（2） （3） （4） （5） （6）

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试问在怎样的点集上gradu 分别满足:

由

gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是（0，

0, 1

）, 故