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一、证明题

1． 证明：闭区间

设

不妨设

的全体聚点的集合是

则

本身。

中有无穷多个实数，故a 是

则

中的无穷多个点，故x 0为

则

即闭区间上连续，且

的全体聚点的集合是

证明：存在点由f (x ) 在

本身。

使得

上连续可知F (x ) 在

若若

综上，存在. 3． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

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【答案】设[a，b]的全体聚点的集合是M 。

由实数集的稠密性知，集合的一个聚点。

设

不妨设

的一个聚点. 总之

即

不

是

b 也是的一个聚点. 同理，

故x 0的任意邻域内都含有设

故综上所述，

2． 设函数f 在且有

则取

则

使得

或

令

的聚点，

即

上也连续.

【答案】作辅助函数

即有

使

得

即

由根的存在性定理知，存

在

则由可知，

是上

即

亦即

4． 设为区间，上严格凸函数. 证明：若数知，对任意

总有

因此，对于任意的

与是的极小值点矛盾. 故

5． 设

证明

【答案】由于

因此

6． 设

【答案】

. 下证

是数列

(反证法) . 假设x 0不是数列因

为

对

则一定有

矛盾. 于是必有一个聚点。

当且仅当

即

时，原不等式中的等号成立. 试证：数列

的聚点，则存在

的聚点全体恰为闭区间

不含有数列

所以存在自然数来说，

或者

如若不然，则有

N ，

当或者

于是

时，

有

这是因为

.

这与

的即

不妨设

只要充分接近0, 总有是在I 上的惟一极小值点。 并说明其中等号何时成立.

但是

这

为f 的极小值点，则为，在Ⅰ上惟一的极小值点。

不妨设

由是I 上的严格凸函

【答案】反证法. 若有异于的另一极小值点

的一个聚点。

的任意一项. 这里

这说明B 不可能是数列的聚点. 矛盾. 因此，是数列

二、解答题

7． 求函数

【答案】故有

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在点处沿到点其方向余弦为

的方向因为

上的方向导数.

8． 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小。

【答案】如图所示，

在处，

从

到

正电荷在垂直方向上的引力为

故导线与电荷的作用力为

图

9． 在

上把下列函数展开成傅里叶级数

上的偶函数，故

根据傅里叶级数展开式的系数公式可得

所以

故其傅里叶级数为

10．在区间最小值.

【答案】

得驻点

根据

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的一段导线的电量微元为它对圆心处的单位

【答案】易知f (x ) 是

内用线性函数近似代替，试求使得积分取