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2017年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编

  摘要

一、证明题

1. 设由

可建立一元线性回归方程,是由回归方程得到的拟合值,证

明:样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

将之代入样本相关系数r 的表达式中,即有

证明完成.

2. 设

(1)(2)(3)

是取自某总体的容量为3的样本,试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计,

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差?

【答案】先求三个统计量的数学期望,

这说明它们都是总体均值的无偏估计,下面求它们的方差,不妨设总体的方差为

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不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

从而的有效性最差.

估计总体均值时,样本均值是最有效的。

3. 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p ,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数,则由全概率公式知,对任意正整数k 有

这表明:Y 服从参数为

的泊松分布.

, 且X 与Y 独立,

是充分统计量. 的条件密度函数为

4. 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是 5. 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

分布

的特征函数, 由唯一性定理知

【答案】由条件,

它与

6. 设

【答案】一方面

另一方面

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无关, 从而是充分统计量.

证明:

7. 总体

(1)证明

其中θ>0是未知参数,又是参数的无偏估计和相合估计;

从而

于是,

这说明

是参数的无偏估计. 进一步,

这就证明了也是的相合估计. (2)似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差,由于x (n )的密度函数为

从而

这说明

不是θ的无偏估计,而是θ的渐近无偏估计. 又

因而

是θ的相合估计.

证明:2P (ABC )=P(AB )

8. 设事件A ,B ,C 的概率都是1/2,且P (ABC )=+P(AC )+P(BC )-1/2.

【答案】因为

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为取自该总体的样本,为样本均值.

(2)求的最大似然估计,它是无偏估计吗?是相合估计吗? 【答案】(1)总体

显然L (θ)是θ的减函数,且θ的取值范围