2017年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1. 设由
可建立一元线性回归方程,是由回归方程得到的拟合值,证
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中,即有
证明完成.
2. 设
(1)(2)(3)
是取自某总体的容量为3的样本,试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计,
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差?
【答案】先求三个统计量的数学期望,
这说明它们都是总体均值的无偏估计,下面求它们的方差,不妨设总体的方差为
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则
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
从而的有效性最差.
估计总体均值时,样本均值是最有效的。
3. 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p ,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数,则由全概率公式知,对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
的泊松分布.
, 且X 与Y 独立,
则
是充分统计量. 的条件密度函数为
4. 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是 5. 设
是来自正态分布
的样本, 证明,
在给定
分布
的特征函数, 由唯一性定理知
【答案】由条件,
它与
6. 设
【答案】一方面
另一方面
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无关, 从而是充分统计量.
证明:
7. 总体
(1)证明
其中θ>0是未知参数,又是参数的无偏估计和相合估计;
从而
于是,
这说明
是参数的无偏估计. 进一步,
这就证明了也是的相合估计. (2)似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差,由于x (n )的密度函数为
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计,而是θ的渐近无偏估计. 又
因而
是θ的相合估计.
证明:2P (ABC )=P(AB )
8. 设事件A ,B ,C 的概率都是1/2,且P (ABC )=+P(AC )+P(BC )-1/2.
【答案】因为
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为取自该总体的样本,为样本均值.
(2)求的最大似然估计,它是无偏估计吗?是相合估计吗? 【答案】(1)总体
则
显然L (θ)是θ的减函数,且θ的取值范围
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