2017年北京信息科技大学理学院825概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），试求以下Y 的密度函数：
（1）【答案】（1）
. ；（2）
所以当
时，Y 的密度函数为
对上式两端关于y 求导得
所以Y 的密度函数为
这个分布被称为半正态分布. （2
）
的可能取值范围为
所以当
时，Y 的密度函数为
对上式两端关于y 求导得
所以Y 的密度函数为
2． 设随机变量X , Y 独立同分布, 在以下情况下求随机变量
（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布• （2）X 服从几何分布, 即
【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1, 所以1, 因此
的可能取值范围为
当y>0时，Y 的分布函数为
当
y>l时，Y 的分布函数为
的分布列.
的可能取值也为0或
（2）因为X 服从几何分布, 所以由此得
3． 假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为
诸观测值相互独立.
（1）写出的最小二乘估计，和（2）对给定的
【答案】（1）由最小乘法原理，令
的无偏估计；
求
则正规方程为
其对应的因变量均值的估计为
从中解得届的最小二乘估计为不难看出
于是，由
有
将
写成
的线性组合，利用
间的独立性，有
由此即有
从而
这给出
的无偏估计为
（2）对给定的对应的因变量均值的估计为于是
4． 设随机变量X 服从（-1，2）上的均匀分布，记
试求Y 的分布列. 【答案】因为
表
5． 设随机变量X 的分布函数为
【答案】因为X 为非负连续随机变量，有
由此得
所以
所以Y 的分布列为
试求E （X ）和W （X ）.
注，此题也可直接计算得，
6． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.求此密码被译出的概率.
【答案】记事件
为“第i 个人译出密码”，i=l，2，3，B 为“密码被译出”.则
注：互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.
7． 系统由n 个部件组成. 记为第i 个部件能持续工作的时间, 如果独立同分布,
且
试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:
（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为
所以
的密度函数和分布函数分别为