2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研冲刺密押题
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一、证明题
1 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
的特征函数, 由唯一性定理知
.
, 且X 与Y 独立,
2． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
由此得
【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
3． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 4． 设由 有相同的边际密度函数. 可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证 明：样本相关系数r 满足如下关系 上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为 即 将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有 证明完成. 5． 设正态总体的方差 为已知值，均值只能取或 两值之一，为总体的容量n 的 则检验犯第二类错误的概率 为 从而在并且要求 给定时，有 样本均值. 考虑如下柃验问题 若检验拒绝域取 为 （1）试验证：（3）当 【答案】（1）由于 （2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？ 时，样本容量n 至少应为多少？ 故检验犯第二类错误的概率为 这给出 也即 从而在 （2）若n 固定，当减小时，而导致增大. 同理可知：当减小时增大. 这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案. （3）由 查表可得 于是 将 代入，有 即n 至少应为468. 6． 设 是来自二点分布b （1, p ）的一个样本， 就变大，由 为常量可知 就变小，从 给定时，有 （1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是 的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为 由此可见（2） 是的无偏估计. 是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为 由此可见 （3）反证法，倘若 是p （1-p ）的一个无偏估计. 是1/p的无偏估计，则有 或者 上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论