2017年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
2． 设是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
服从
这是因为F （x ）的反
其中（2）若（0,
当
时, 有
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3
）由
与（2）可知
3． 证明:若与
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
则当
时有
由此写出E （F ）
的相互独立性可导致
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
4． 设二维随机变量
服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为
是来自该总体的样本, 证明:
二维统计量
该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处,
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
是
由因子分解定理知, 结论成立.
5． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
6． 设数为
是充分统计量.
是来自均匀分布
其中
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.
1与
,
）,
是一一对应的,
）就可算得（
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
）是充分统计量.
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与