2017年北京市培养单位心理研究所803概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
于是
,
与
分别是两个样本方差.
2． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则
【答案】记这正是二项分布
因为
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X 与Y
所以由X 与Y 的独立性得
3． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
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（2）因为
所以
4． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，且看出，事件A ，记
（2）设其中
以下对n 用归纳法：
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
5． 证明公式
其中
又设
为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出_
而对
k=0.
对
其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,
也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.
6． 设总体X 的分布函数为经验分布函数为试证
【答案】设
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
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这就证
若令于是
又
可写为
, 故有
7． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为
试证:
当
时, 有
, 诸
）是充分统计量.
【答案】
的联合密度函数为
注意到
是已知常数, 令
取
由因子分解定理, （
9． 设
则
）是（
）的充分统计量.
独立,
是已知常数, 证明
【答案】对任意的即
8． 设（
结论得证.
则
是独立同分布的随机变量, 且
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
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