2016年伊犁师范学院教育学院数学基础之高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
2． 设级数
收敛，且
不一定收敛。
必定收敛，因为
根据收敛数列的保号
收
问级数
是否也收敛？试说明理由。
【答案】级数当
是正项级数时，在题设条件下
即有
性知，存在正整数N ，当n ≥N 时有敛，即
当
收敛。
不是正项级数时，
于是，按正项级数的比较审敛法知
可能不收敛。例如：若
然而
发散。
则
收敛，且 3． 计算
，
其中
为球面及三个坐标面所围成的在第一卦
限内的闭区域.
【答案】解法一:利用直角坐标计算. 由于
故
解法二:利用球面坐标计算，由于
故
4． 曲线弧
【答案】
由
当当
时, 时,
； ；
上哪一点处的曲率半径最小? 求出该点处的曲率半径。
曲线
的曲率为
因此为K 的极大值点。
又驻点惟一, 故极大值点也是最大值点, 且K 的最大值为
此时曲率半径
最小,
故曲线弧
上点
上的曲率半径最小且曲率半
径为
5． 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
【答案】设直角三角形的两直角边之长分别为求周长S 在作拉格朗日函数
令
条件下的条件极值。
则周长
解得。代入，得，于是是唯一可能的一切直
的极值点，根据问题性质可知这种最大周长的直角三角形一定存在，所以在斜边之长角三角形中，周长最大的是等腰直角三角形。
6． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
令
，
得
，
当
时
，，
当时，