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一、计算题

1． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：

【答案】

的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆

表示xOy 面上的双曲线

面，或表示yOz 面上的双曲线

表示xOy 面上的椭圆

绕x 轴旋转一周而生成

绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面

.

绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲

绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面

.

绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲

表示xOy 面上双曲线

面，或表示xOz 面上双曲线

绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面

表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋

转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.

2． 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：

（1）x=0; （2）3y －1=0; （3）2x －3y －6=0; （4）（5）y ＋z=1; （6）x －2z=0; （7）6x ＋5y －z=0.

【答案】（l ） ～（7）的平面分别如图1-图7所示. （1）x=0表示yOz 坐标面. （2） 3y －1=0表示过点

且与y 轴垂直的平面.

;

（3）2x －3y －6=0表示与z 轴平行的平面.

（4）表示过z 轴的平面.

（5）y ＋z=1表示平行于x 轴的平面. （6）x －2z=0表示过y 轴的平面. （7）6x ＋5y －z=0表示过原点的平面

.

图1 图2 图

3

图4 图5 图

6

图7

3． 求三平面x ＋3y ＋z=1，2x －y －z=0，﹣x ＋2y ＋2z=3的交点.

【答案】联立三平面方程

解得，x=1，y=﹣1，z=3.故所求交点为（1，﹣1, 3）.

4． 设函数

连续，且满足

在该方程两端对x 求导，得

【答案】由所给方程可得

即

可见若记

又在方程

则有初值问题

上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解

且有代入初始条件

有

解得

x

的两端对x 求导，得

而不是

于是方程（1）

是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得

即于是得

5． 有一闸门，它的形状和尺寸如图所示，水面超过门顶2m ，求闸门上所受的水压力。

，则p （x ）=1000gx，取x 为积分变量，则x 的变化【答案】设水深zm 的地方压强为p （x ）范围为[2, 5], 对该区间内任一小区间[x，x+dx]，压力为

，因此

闸门上所受水压力为

6． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.

【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为

当R=4，H=20，△R=△H=0.1时

，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积