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一、计算题

1． 假定X 是连续随机变量，x 是对X 的（一次）观测值. 关于总体密度函数f （x ）有如下两个假设：

检验的判断规则是：若

则拒绝原假设

试求检验犯两类错误的概率.

犯第二类错误的概率为

这个检验犯两类错误的概率都不小，不是一个好的检验，主要原因是样本量太小.

2． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以

【答案】由所给条件，犯第一类错误的概率为

3． 设猎人在猎物100m 处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150m. 若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200m. 若第三枪还未命中，则猎物逃逸. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率.

【答案】记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，所以有

又因为在100m 处命中猎物的概率为0.5，所以0.5=P（X=100）=k/100，从中解

得k=50.若以事件A ，B ，C 依次记“猎人在100m 、150m 、200m 处击中猎物”，则

因为各次射击是独立的，所以

4． 设二维尚散随机变量（X , Y ）的联合分布列为

表

试求【答案】因为

和

, 所以用Y=2这一列的各个概率（P

）, 得表

1

的条件分布列为

（X=i, Y=2））除以此列的总和（

由此得

同理, 用X=0这一行的各个概率（的条件分布列为

表

2

由此得

）除以此行的总和（

）,

得

5． 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数, 以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为

试求条件分布列P （Y=m|X=n）. 【答案】先求X 的边际分布列

所以X 服从参数为14的泊松分布. 由此得

这是二项分布b （n , 0.51）.

6． 设随机变量X 服从正态分布

【答案】由题设条件知

若

. 试求

由此得

7． 设从总体计算得

（1

）若已知（2）若已知（3）若对（4）求【答案】（1）在

所以和总体

，求求一无所知，求

都已知时，

中分别抽取容量为

的置信水平为95%的置信区间； 的置信水平为95%的近似置信区间；

的

的置信区间为

的独立样本，可

的置信水平为95%的置信区间；

的置信水平为95%的置信区间.

经计算，查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为

（2）当时，的的置信区间为

这里

而

，因而

的置信水平为95%的置信区间为

（3）当的

未知时，由于两个样本量不是很大，故可采用一般场合下的近似置信区间，

即的近似置信区间为

. 这里

又查表得

的置信水平为95%的近似置信区间为

的置信水平为95%的置信区间为

，因而

（4）