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一、计算题

1． 一端固定、另一端自由的大柔度直杆，在自由端受轴向压力F 和横向力作用，如图1所示。试导出下列诸量的公式:

（1）杆的最大挠度; （2）杆的最大弯矩

;

（3）杆横截面上的最大正应力及相应的强度条件。

图1

【答案】杆在轴向压力F 和横向力

的作用下发生纵横弯曲。

图2

（l ）建立如图2所示的坐标系，任意x 截面的弯矩:

杆的挠曲线微分方程:

令

，上式可变形为:

上述微分方程的通解及其一阶导为:

由边界条件

确定积分常数:

得杆的挠曲线方程:

显然，最大挠度发生在自由端，即:

整理上式并解得:

（2）最大弯矩发生在梁的固定端截面上，由弯矩方程可得:其中，将最大挠度值

代入可得:

（3）杆的最大正应力发生在固定端截面的凹侧边缘上，且为压应力，其道为:

与之对应的强度条件:

其中，。

2． 直径d 2=1.5d1的阶梯形轴在其两端承受扭转外力偶矩M e ，如图所示。轴材料为线弹性，切变模量为G 。试求圆轴内的应变能。

【答案】对该阶梯轴进行分段计算应变能再求和，其中d 2=1.5d1，可得:

3． 直径d=50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶矩M e =6kN·m ，而在圆杆表面上的A 点将移动到A 1点，如图所示，已知

，圆杆材料的弹性模量E=210GPa，试求泊松

比v 。（提示: 各向同性体材料的三个弹性常数E 、G 、v 间存在如下关系:

图

【答案】由题意可知，过O 1的横截面相对于固定端的扭转角

根据相对扭转角的计算公式，可得切变模量

G

因此，由公式

可得到泊松比