2017年河南师范大学数学与信息科学学院801高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 2． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
为空间的两组基，且
由②有
则A 与B （ ）.
C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
使
因此A 与B 合同.
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
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二、分析计算题
6． 设A , B是n 价实对称阵，定义
证明：所有n 阶实对称阵所成V 关于（A , B）成一欧氏空间. （1）求V 的维数； （2）求使（3）求
的空间S 的维数； 的维数.
是R 上的一个线性空间
再证①是V 的内积，从而得证V 是关于内积①的欧氏空间. 实事上
此即证V 是欧氏空间. 证
是（i ，j ）元为1, 其余一元均为0的n 阶方阵，那么可证
为V 的一组基，于是
（2） 因此（3）
令
故
7． 已知3阶正交矩阵A 的行列式为1. 证明A 的特征多项式一定为
. 其中，a 是实数. 且
【答案】由于A 为3阶正交矩阵. 且设A 的特征值为
则有
因此A 的特征多项式为
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【答案】首先可证
可证S 是V 的子空间，由于
所以A 特征值的模为1, 且A 必有特征值1.
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