2017年河南理工大学数学与信息科学学院877高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
不妨设
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
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从而
线性相关.
又由方法2:设考虑到
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）. A.E B.-E C.A D.-A 【答案】A 【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有 B （E-A ）=E. 又C （E-A ）=A，故 （B-C ）（E-A ）=E-A. 结合E-A 可逆，得B-C=E. 4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 【答案】D 【解析】 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 第 3 页，共 50 页 则线性方程组（ ）• 则A 与B （ ）. 所以A 的特征值为3，3，0；而 二、分析计算题 6． 多项式 【答案】计算结式 在取何值时有公共根？ 将它的第3, 4, 5, 6列各减去它们前面的列的适当倍数，则可变为 故当 7． 证明：如果 【答案】设 那么 ，于是考虑多项式f （y ） 时， 因此， ， 即能整除f （y ） 有公共根. 8． 设S 是酉空间V 的一个非空集合，记 证明： 是子空间，且 并举例说明 有 所以 即由又可见因此 第 4 页，共 50 页 不一定成立. 所以 【答案】对给定的集合S ，显然V 的零元素属于 ，对任一（复数域） 的任意性知 由题设知 是V 的子空间.