2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设面密度为常
量质量的质点的引力F 。
【答案】如图所示，引力元素dF 沿x 轴和z 轴的分量分别为
的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区
域
，求它对位于z 轴上点
处单位
图
和
于是
由于D 关于x 轴对称，且质量均匀分布，故
，因此引力
2． 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F （单位:N ）与伸长量:（单位:cm ）成正比，即F=ks（k 是比例常数）. 如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算所作的功.
【答案】
3． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
4． 求半径为a 、中心角为
的均匀圆弧（线密度
）的质心。
【答案】取坐标系如图所示，则由对称性知又
，故
（也可由圆弧的弧长公式直接得出）
所求圆弧的质心的位置为。
图
5． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点,
, 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在
内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
最小值。
6． 利用函数的微分代替函数的增量求
【答案】利用
的近似值。
，取x=0.02，得