2017年中国民航大学理学院817高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求曲线
在三个坐标面上的投影曲线的方程.
z
【答案】
在
，即
中消，故
去，
得
为曲线在xOy 面上的投影曲线方程.
在即
，
故
xOz 面上的投影曲线方程.
同理，可得
，他就是曲线在yOz 面上的投影曲线方程.
为曲线在
中消去y ，得
，
2． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
时,
, 故V 在
, 又
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
图
3． 利用二重积分的性质估计下列积分的值:
，其中，其中，其中
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，面积等于1，因此
（2）在积分区域D 上，积等于
，因此
（3）在积分区域D 上有
，D 的面积等于2，因此
（4）因为在积分区域D 上有又D 的面积等于
，因此
，所以有
，从而
，又D 的面
，从而
。又D 的
；
。
；
；
4． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，
则
，求f （u ）的表达式。
【答案】设
，则
满足，
若
，则
由条件对方程
，可知进行求解，其通解为
，其中
为任意常数 代入，可得
将初始条件
解得 5． 设
【答案】当
，故f （u ）的表达式为
求
时，则
及。
当
时，则
故
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