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一、证明题

1． 设f (x , y) 为连续函数，且

【答案】令

所以

2． 设是某个区间，数列由迭代公式

求证：(1) 当在区间上严格单调增加时，(2) 当在区间上严格单调减少时，相反的单调性.

【答案】(1) 以下分两种情况考虑： ①如果②如果

那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调増加数列； 那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调下降数列.

恰好是严格单调増加的，应用

的两个子列

产生，如果对

为严格单调数列；

和

都为严格单调数列，且具有

推出

证明：

(2) 注意到，当f 在区间上严格单调减少时，复合函数第(1) 小题的结论即得证明.

3． 设函数在含有得

【答案】由

的某个开区间内二次可导，

且

则存在使

定理得，对有

而故有

令则有

即

4． 证明：若在

上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在

【答案】设

则

于是有

由假设使得

为单调函数，故

不变号，从而根据推广的积分第一中值定理，存在

使得

二、解答题

5． 设函数f (x ) 满足条件

【答案】因为n=l, 2，... 时

所以

6． 求曲面

同理可得

的切平面，使它平行于平面

的切面和平面.

处的切平面与所给平面平行，在以处切平

问此函数在上的傅里叶级数具有什么特性？

即f (x ) 在内的傅里叶级数的特性为

平行，又在该点的切面为

【答案】设曲面上过点故

所以

代入曲面方程得

所以

可见在点

和点

面为

在处切平面为

7． 求下列函数在给定点的全微分：

【答案】(1) 因；由由：(2) 由

得

8． 确定下列函数的单调区间：

【答案】减.

（2）f （x ）的定义域为因此. 在

f （3）（x ）的定义域为上，

递减.

（4）f （x

）的定义域为

和

上均为单调递増.

总

有

故.

在定义域上恒正，f （x

）在

导函数为

递减；在

故在

递增 上

递增；在

故在

递增在

递

得

在(0, 0) 连续，从而ZX 在(0, 0) 可微.

同理z 在(1，1) 可微，

在(1，0) ，(0，1) 处连续，从而z 在这两点处可微，由

由

得

9． 叙述数集A 的上确界定义，并证明：对任意有界数

列

【答案】若存在数满足下面两条：

（1）（2）则称令

则

一定存在

为数集A 的上确界，即supA=a.