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一、证明题

1． 设

【答案】先用数学归纳法可证：

再用数学归纳法证明:

显然

归纳假设

则

从而②式成立. 由①，②式知

单调递増有上界，注意到

1<1.

2． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集

(1)

. (2

)

【答案】(1) 对任意的

因此

对于任意正

数

，故

(2) 同理可证.

. 存

在

即

存在

是A+B的一个上界.

使

得

于是

，

并

且

使得c=a+b, 则设

于是

证明：

极限存在，可设

证明：

收敛，并求其极限.

二、解答题

3． 已知直线运动方程为运动的平均速度及

【答案】

令即

可求得平均速度分别为

时的瞬时速度为

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分别令求从至这一段时间内

时的瞬时速度.

4． 讨论级数

【答案】由

可得和函数

考察

由于

所以

当

于是

当

时都有

而当

时，注意到

对适当大的n ，有

于是对上述

当n>N时，

由式(1) 、式(2) 知，

当n>N，

即

故原级数在

上一致收敛.

D 的面积为

【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为因此

考虑

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在上的一致收敛性.

时，有

都有

时有

5． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为

为D 内任一点，证明

则

所以

由于

，因此

。所以

同理可证

6． 设有一吊桥，其铁链成抛物线形，两端系于相距100m 高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m 处，求铁链与支柱所成之角.

【答案】建立如图所示的坐标系，则悬点A ，B 的坐标分别为（50, 10）和（-50，10）. 由此得铁链的方程为

于是

铁链与支柱所成之角

，得到

图

7． 求极限：

【答案】（1）因为X ，sinx ，cosx 都是R 上的连续函数，所以当的连续点. 于是

（2）该函数在x=l处为右连续，于是

8． 求下列圆环L 的质量，已知圆环L

为

【答案】圆环L 的质量为因此只需求

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-时，x 是

线密度

为

注意到在L 上时，有