2017年华北电力大学(北京)数理系692数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设为使
【答案】
先证
在则存
在
(
使得
矛盾，故原命题得证。
2． 设是曲面此曲面在处的切平面方程为
【答案】由于F 为n 次齐次函数，且_曲面在处的切平面方程为
即
而由式知
故
由
知
曲
面
在
处
的
切
平
面
方
程
为
. 故有
对
介
于
上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，
假设恒有
使
得
设
由泰勒定理得
，
这
与
使
使得
在则存在
这与假设
之间) . 于
是
上的二阶可导函数，若在
上有界，则存在
上有界矛盾. 再用反证法证明原命题. 假设不存在
应用达布定理可知，存在
的非奇异点，F 在：可微，且为n 次齐次函数. 证明：
二、解答题
3． 设
求：
【答案】
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同理(1) 将(3) 由于
4． 设函数
【答案】
5． 设
求
：
代入可得
所以
为可导函数. 证明：
并利用这个结果求（1）
为元素的n 阶行列式
表示将
【答案】令D （x ）表示以函数的第k 行换为
其余元素都不变的行列式，根据行列式的定义
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由莱布尼茨公式和求和符号S 的交换性质有
6． 过点（4，0）作曲线
（1）求切线的方程；
（2）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积
的切线.
图
【答案】⑴令
则
过点（4，0）作曲线
的切线，切线与x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
于是切线斜率为
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切线方程是
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