2017年河南科技学院高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设P 是数域，证明：
的充分必要条件是
若
和
分别是齐次线性方程组
和
的解空间.
只有零解.
只有零解，则
则
又
即
即证
因而由①知
再证必要性.
设
矛盾. 从而
2． 设
证明:
作成
用反证法.
如果
只有零解.
是数域K 上n 元多项式空间，m 是正整数且
的子空间且则必
从而
的
一基，又因为
3． 设，
证明：【答案】证法
I
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【答案】先证充分性. 因且
有非零解，
那么
即
这与
其中m ，s 都是正整数.
为其一基：因为若
【答案】是子空间显然. 下证是n 维子空间，且
在K 上线性无关.
又显然
是n 维子空间.
的维数n 同正整数m 无关，故
中每个多项式都可由线性表示. 因此
，
故证法II
对
利用等比级数求和公式（首项为
，公比为
得
整理后得
4． 证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数.
【答案】设A 是一个反对称实矩阵.
是
的一个根，则有非零向量
满足
令
其中
是于是
的共轭复数. 则
又因是非零向量，
是一个非零实数. 又因
因此
是零或纯虚数.
5． 设f （x ）是次数大于零的整系数多项式，若
【答案】设
的余式. 由带佘除法定理，可设
而
的根，即
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是f （x ）的根，则
去除
也是所得到
的根.
其中
所以
即有
可见
6． 若
的根.
是线性空间V 的两个子空间，证明：
这里dimW 表示子空间W 的维数. 【答案】设将（I ）扩大
为
的一组基
再将（I ）扩大为今（IV ）
的一组基
，则
可证
下证再令
由⑤式有
由⑥，⑦两式知将⑧代入⑦，并移项得
但
将⑩代入⑧式得由
再由⑩，⑪知
线性无关，由⑨式可得
再代入⑥式有
线性无关，可得
线性无关. 再由④式知
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的维数分别为的维数为r ，取的一组基（I ）并
线性无关. 设有
从而所以
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