2017年海南师范大学数学综合(数学课程与教学论和高等数学)之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
（1）计算
为正定矩阵，其中A ，B 分别为m 阶对称阵和n 阶对称阵，C 为其中
是否为正定矩阵，并证明你的结论. 有
（2）矩阵
是正定矩阵. 由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵
又因为D 为正定矩阵，所以矩阵M 为正定矩阵. 再由矩阵M 为对称矩阵，知对称矩阵
.
即证
也是矩阵.
（2）利用（1）的结果判断矩阵【答案】（1）由
2． 证明:
一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根，
要且只要存在一个有理系数多项式
使【答案】
显然，a 是
的根，因而也是
的根，令
则
若由
则
可知
如此继续，总有一个时刻，使
因而我们不妨在等式
第 2 页，共 27 页
的根
.
设为非零有理系数多项式
中设从而有
其中，显然有
令
为有理系数多项式，且
和
3． 设A ，B 分别为
证明：【答案】由的，则
则有
行满秩实矩阵，m+s=n，而
是半正定矩阵.
是
矩阵，故正定. 因为
是半正定矩阵. 由B 是行满秩
是列满秩的，故
所以D 半正定. 由阵.
正定，D 半正定，故半正定，即是半正定矩
方法5矩阵分解法等如果矩阵A 有分解式：半正定.
则C 列满秩时，A 正定；C 行满秩时，A
一般地，如果矩阵A 能分解成若干个简单矩阵的和、积等，则可能将问题化难为易，矩阵分解也是一种解决问题的方法.
4． 设，
证明：【答案】证法
I
故证法II
对
利用等比级数求和公式（首项为
，公比为
整理后得
得
第 3 页，共 27 页
5． 设是n 维线性空间V 的线性变换，且
【答案】由的矩阵为
则存在
使
求出的所有不变子空间
构成V 的基，进而此基下
故
变子空间. 下面证明
子空间恰有上述
是一子空间，个. 设W 是
子空间，
于是是的个不
是W 的基，令
两边用
得有上述
6． 设
个.
作用得
如此进行下去，
得
由式
知
等式右端第一个非零系数为则
于是
再用
作用于
令
则
故一子空间恰
其中当
证明：与A 可交换的矩阵只能是对角矩阵. 【答案】令
与A 可交换. 计算
由AB = BA, 则对任意
有
第 4 页，共 27 页