2017年首都师范大学概率论与数理统计应用数学数学与信息技术(一)之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1. 一药厂生产一种新的止痛片,厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半,因此厂方提出需检验假设
此处
分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值.
现分别在两总体中取一样本
和
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值
设两个样本独立. 试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域. 【答案】设X 为服用原有止痛片后至开始起作用的时间间隔,止痛片后至开始起作用的时间间隔
,立.
为此,
先构造
待检验的一对假设为
的点估计
由于
且
已知,
故
为样本,Y 为服用新
为样本,且两个样本独
的分布完全确定. 据此,可采用u 检验方法,检验统计量为
当矾成立时,为
2. 设
为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为
试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用?
【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.
3. 一批产品分一、二、三级,其中一级品是二级品的三倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一件,试求取到三级品的概率.
【答案】设取到三级品的概率为P ,则取到二级品的概率为2p ,取到一级品的概率为6p ,
由
解得P=l/9.
,对于本题的检验问题,在给定的显著性水平理下,检验的拒绝域
4. 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要10分钟, 且各件产品的组装时间是相互独立的.
(1)试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率;
(2)保证有95%的可能性, 问16小时内最多可以组装多少件产品? 为组装第i 件产品的时间(单位:分钟), 则由
(1)根据题意所求概率如下, 再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
【答案】记
(2)设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表捐
, 从中解得k=81.
,
知
5. 为比较不同季节出生的女婴体重的方差,从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名,测其体重如下(单位:g ):
12月:6月:=0.05)?
【答案】设冬、夏两季新生女婴的体重分别服从
因而,考虑检验统计量
所以不拒绝原假设,不能认为女婴体重的方差是“冬季的比夏季小
考虑检验问题:
假定新生女婴体重服从正态分布,问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小(取(α
6. 设(X ,Y )是二维随机变量,X 的边缘概率密度为
在给定
的条件下,Y 的条件概率密度为
(1)求(X ,Y )的概率密度(2)Y 的边缘密度
【答案】(1)(X ,Y )的联合概率密度
(2)Y 的的边缘概率密度
7. 已知P (A )=0.7,P (A9B )=0.4,试求
,由此得
【答案】因为0.4=P(A-B )=P(A )-P (AB )=0.7-P(AB )
8. 设有两工厂生产的同一种产品,要检验假设产品各抽取绝
【答案】这里样本量很大,可采用大样本近似,以A 分别表示两个工厂的废品率,则在下,总废品率为
检验统计量为
此
个及
它们的废品率相同,在第一、二工厂的
个,分别有废品300个及320个,问在5%水平上应接收还是拒
,故检验拒绝域为在原假设下,该统计量近似服从正态分布N (0,1)处.
故
由于
故不能拒绝原假设,此处经计算,检验的p 值近似为0.1040.
二、证明题
9. 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并,譬如
(1)试用类似方法表示三个事件之并(2)利用(1)的结果证明