2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（X ，Y ）在矩形长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数.
【答案】因为（X , Y ）服从矩形G 上的均匀分布，所以（X ，Y ）的联合密度函数为
又因为面积Z=XY，所以Z 可在区间（0, 2）上取值，且Z 的密度函数可用积的公式求得
要使以上被积函数大于0的区域必须是此
交
集
为
，
2． 设随机变量X 的密度函数为
试求以下Y 的密度函数: （1）其反函数为
（2）
（3），及
. 且
，所以Y 的密度函数为
（2）因为其反函数为
的可能取值范围是
，及
. 且
是严格单调增函数，
是严格单调增函数，
【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是
所
以
当
的交集， 0 时 ， 有 上服从均匀分布，试求边 ，所以Y 的密度函数为 （3）因为 数， 其反函数为 的可能取值范围是 . 及 ，且 在上是严格单调增函 ，所以Y 的密度函数为 这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为 ）的密度函数为 本题结论就是 时的韦布尔分布形（1/2，1）. 3． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且 试求P （x=y）. 【答案】利用独立性可得 4． 设 为来自b （1, p ）的样本，试求假设 则似然比统计量为 的似然比检验. 【答案】样本的联合概率函数为两个参数空间分别为利用微分法，在上P 的 通过稍显复杂的求导可知，当而当 时 时， 为的严减函数 为的严增函数， （对此性质，也可以画出关于的图形看出），从而拒绝域 这说明此时的似然比检验与传统的关于比率P 的检验是等价的，其中临界值与由显著性水平确定. 5． 设指数分布中未知参数的先验分布为伽玛分布 的均值和方差分别为 . 现从先验信息得知:先验均值由己知条件，可建立如下方 为0.0002, 先验标准差为0.01，试确定先验分布. 【答案】由于伽玛分布程组 解之得 所以的先验分布为伽玛分布 6． 设 为自由度为n 的t 变量，试证: . 的极限分布为标准正态分布 其中 故的特征函数为 【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知 由特征函数性质知 从而由 再按依概率收敛性知 这就证明了 的极限分布为标准正态分布 注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些. 7． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的， 即对任意的实数 与X 有相同的偏度系数与峰度系数. 【答案】因为 ，所以 即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为 所以Y 与X 有相同的峰度系数. 8． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位:min ）服从均匀分布 假设 的先验 分布为 ，其中 未知， 假如此人在三个早上等车的时间分别为 5, 3, 8min , 求后验分布. 【答案】 与 的联合分布为