2017年电子科技大学数学科学学院601数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1．
在R 上二次可导，
证明：
上恰有两个零点.
【答案】先证当因为
所以，当x 的绝对值足够的大的时候，不妨设当当同理，当由又由于
时，
时，>的时候，可知
先单调减少，再单调递增.
各有一个零点.
又测得重量’
其绝对误差
为递增函数。所以
.
.
的时候，
在R
根据连续函数的零点存在定理知，
其绝对误差限为
2． 测得一物体的体积限为
求由公式
【答案】
算出的比重的相对误差限和绝对误差限.
所以d 的相对误差限为
3． 设
取充分性，若则当n>N时，有
当n>N时，有
则即
证明
绝对误差限为
的充要条件是
则
即
【答案】必要性，若当时，有
又因为所以
对
当n>N时，
有
即对取
4． 设是凸域，且满足
是半正定的.
为任一向量，当t 充分小时，点，
证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：
根据条件
故有
上式消去并令这表明矩阵
即得
是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.
二、计算题
5． 试求下列方程所确定的函数的偏导数
(1
)
【答案】(1) 把看成所以
同理两边对y 求偏导数得
(2) 两边对x 求偏导数有
所以
两边对y 求偏导数，得
故
(2)
的函数，两边对x 求偏导数，得
6． 试求在上的傅里叶级数，并求级的延拓，则
的和.
【答案】将f (x ) 作周期为
故由收敛定理，对
当
时，其傅里叶级数收敛于
令
7． 设
试讨论它在(0，0) 点处的连续性. 【答案】设
则
所以
当故当
即
1时
因此
在点(0, 0) 处连续.
时
因而综上所述
时
可见
时
在点(0, 0) 处不连续.
时
在点(0, 0) 处不连续.
即有
在点(0, 0) 处连续；而
8． 用区间表示下列不等式的解：
（1）（3）⑷
（2）；
（a ，b , c 为常数，且a 【答案】（1）原不等式可化为