2017年电子科技大学数学科学学院601数学分析之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上连续，证明
则
使得
则
.
【答案】令因
.
在[0, 1]上连续，故记
不妨设
因
在[0, 1]上连续，
故且
时，有
因当
记时，有
则存在正整数从而当
使得当时，有
由(3) 和(7) 知，当
「时，有
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在[0, 1]上一致连续，
故对上述的正数
当
时，有
综上，即证得
2．
【答案】根据题意，
则
易知显然由(1) 若若c=0，则
当b —c=0时，取(2) 若
当
在
当
理，存在使
得得
. 证.
3． 设
证明:f 在D 上连续，但不一致连续.
【答案】显然，f 在D 上是连续的，仅证f 在D 上不一致连续.
取当
无论及
时，
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，
满
足
证明存在非负单调数
列
使
得
. 则
, 若
则
则由推广的罗尔定理知，
存在
又
必有时
，
使得
使得
再
由
必有
又
在某在某
又
(或者用保号性及介值定理，存
处达到最大值，
处达到最小值，利用推广的罗尔定理，存在
利用推广的罗尔定理，存
在
使得
使结论得
；
(或者用保号性及介值定
使得
当c=0时，
由于
时，
使得
综上所述，存在.
这样继续下去，
得到存在非负的单调增数列
取得多么小，当
取到某个，n 时，
总能使
从而
4． 证明：由曲面S 所包围的立体V 的体
积
为曲面S 的外法线方向余弦。
【答案】因
故原公式成立。
为
其中
在D 上不一致连续.
二、计算题
5． 求曲线
所围平面图形（图）绕x 轴旋转所得立体的体积。
图
【答案】
6． 计算下列反常积分的值：
【答案】
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