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一、证明题

1． 证明：对连续函数f (x ) 有

【答案】令

由于

所以

2． 设故只需考虑

故若当

证明数列

与级数_

收敛，必有时，有

与

与级数

间的关系. 因为

收敛；若，同时发散；当

故若

进而

3． 计算积分

【答案】令

4． 求函数

在该点切线方向导数. 【答案】因曲线过点

切线方向的方向余弦为：

而

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同时收敛或同时发散.

的敛散性相同，

【答案】注意到数列的敛散性与正项级数

发散，必有

时

发散.

收敛必有收敛，

即有收敛；若，. 发散，

则有发散，

发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.

二、试解下列各题

在点

处沿曲线

所以

于是

故曲线在点的

故所求方向导数为：

5． 求下列幂级数的收敛半径及其和函数

.

(提本：【答案】(1)

设

故收敛域为设

故

从而

所以

则

)

故收敛半径为1，

又

时级数收敛，

且

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(3) 设

则当时，级数发散. 故收敛域为

而

所以

6． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是周期为的周期函数

如图所示

.

图

因f (x ) 按段光滑，故可以展为傅里叶级数，又f (x ) 为偶函数，故

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