2017年上海财经大学经济学院807实变函数与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设圆的直径服从区间（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.
【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积
而X 的密度函数为
因为且
在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为所以圆面积
的密度函数为
2． 设随机变量X 与Y 相互独立, 试在以下情况下求Z=X/Y的密度函数:
（1）（2）
【答案】（1）因为当数为
使上式中的被积函数大于0的区域是
与
的交集, 所以当z>0时, 有
（2）因为当x>0时, 为
使上式中的被积函数大于0的区域是
与
的交集, 所以当z>0时, 有
3．
是来自
【答案】因为
的样本，已知为服从
所以
的无偏估计，试说明
是否为的无偏估计.
且当y>0时,
所以Z=X/Y的密度函数
时,
且当y>0时,
. 所以Z=X/Y的密度函
相应的密度函数为
于是
所以，的无偏估计.
4． 设随机变量X 的分布函数为
即
：不是的无偏估计，但它是的渐近无偏估计，经修偏，
是
试求
【答案】X 的密度函数为
所以
由此得
5． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是
从而
有
，现
查表知
即
故R 的
6． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值
（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处
查表知
与若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比的
故R
的置信上限为
置信上限
为
，样本标准差s=0.22.
（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；
，的置信区间为
从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得
置信区间为
，因而的置信水平为0.99的置信区间为
7． 测试在有精神压力和没有精神压力时血压的差别，10个志愿者进行了相应的试验. 结果为（单位：mmHg ，收缩压）：
无精神压力时有精神压力时
是否该数据表明有精神压力下的血压的确增加？
【答案】（1）对此问题也可类似于本节第5题进行分析，首先明确要检验的一对假设为：
有无精神压力下的血压不变vs
的10个观测值，为
若假定增加值服从正态分布，可通过对增加值做单样本t 检验进行. 一对假设
为
由数据可计算得
到于是检验的p 值为
P 值小于0.05，可认为有精神压力下的血压的确增加了. （2）由于
正数的个数为8，从而检验的p 值为
P 值大于0.05，在显著性水平0.05得不到显著的结论，即不能认为有精神压力下的血压的确增加了.
（3）由于负的差值只有一个，其秩分别为4，故符号秩和检验统计量为假设检验，检验拒绝域为
三者结果并不完全一致.
8． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要10分钟, 且各件产品的组装时间是相互独立的.
（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率；
（2）保证有95%的可能性, 问16小时内最多可以组装多少件产品？
有精神压力下的血压有增加为此，先给出血压增加值
故可算出检验统计量值
为
这是一个单边
观测
在给定下，查表可知
值4落入拒绝域，故拒绝原假设，可以认为有精神压力下的血压的确增加了.