2017年山东大学金融研究院432统计学[专业学位]之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism.—书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即中的单词数分别为
求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布
的最大似然估计.
的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即
由于最大似然估计具有不变性，因而
2． 设
【答案】
的最大似然估计为
，试求
今从该书中随机地取20个句子，这些句子
3． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间（
）？
【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为
若取
则
拒绝域为
由样本观测值计算得：
因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.
4． 每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【答案】设共射击n 次，记事件为“第i 次射击命中目标”，i=l，2，…，n ，则由题设条件知
由此得
两边取对数解得
所以取n=11可满足题设条件.
样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对的
5． 设随机变量X 的密度函数为
试求以下Y 的密度函数：
【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是其反函数为
及
. 且
是严格单调增函数，
所以Y 的密度函数为
（2
）因为
及
的可能取值范围是
.
且
是严格单调增函数，
其反函数为
所以Y 的密度函数为
（3）因为
其反函数为
的可能取值范围是
及
且在上是严格单调増函数，
所以Y 的密度函数为
这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为
本题结论就是
时的韦布尔分布形（1/2，1）.
）的密度函数为
6． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要10分钟, 且各件产品的组装时间是相互独立的.
（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率；
（2）保证有95%的可能性, 问16小时内最多可以组装多少件产品？ 为组装第i 件产品的时间（单位:分钟）, 则由
（1）根据题意所求概率如下, 再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
【答案】记
（2）设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
,
知
由此查表捐, 从中解得k=81.
7． 设事件A ，B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P . （A ）及P （B ）
【答案】由题设知
又因为A ，B 独立，所以由
解得P （A ）=P（B ）=0.5.
8． 在总体N （7.6, 4）中抽取容量为n 的样本, 如果要求样本均值落在（5.6, 9.6）内的概率不小于0.95, 则n 至少为多少？
【答案】样本均值
从而按题意可建立如下不等式
即
即
样本量n 至少为4.
所以
查表,
函
故
或
,