2017年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
2． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
3． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计
令
们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
这说明
于是
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是其样本，
，证明：
是θ的充分统计量，则对
这说明，在均方误差准则下，人
因而
4． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 5． 设 是来自 的样本，考虑如下假设检验问题 确定. ，n 最小应取多少？ 独立，由此得 即 若检验由拒绝域为 （1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当 时， 【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为 这是因为在成立下， 而犯第二类错误的概率为 这是因为在成立下. . （2）若使犯第二类错误的概率满足 即 ，或 ，查表得： 由此给出 因而凡 最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率 （3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为 当 时. ，即 检验犯第二类错误的概率为 当 时， 即 才可实现，这一结论在一般场 注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小. 第 3 页，共 36 页 合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可 6． 设是来自二点分布b （1, p ）的一个样本， （1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是 的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为 由此可见（2） 是的无偏估计. 是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为 由此可见 （3）反证法，倘若 是p （1-p ）的一个无偏估计. 是1/p的无偏估计，则有 或者 上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在. 7． 设总体为韦布尔分布其密度函数为 现从中得到样本 证明 仍服从韦布尔分布, 并指出其参数. 为 因而最小次序统计量这说明. 8． 设 （1）（2）（3） 的分布函数为 是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计， 【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数 在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？ 【答案】先求三个统计量的数学期望， 第 4 页，共 36 页
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