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一、填空题

1． 级数

【答案】

收敛的充要条件是a 应满足_____。

【解析】由题意得

当a>0时收敛，当a<0时发散，当a=0时，原级数为

发散，则原级数收

则原级数

敛的充要条件a>0。

2． 交换二次积分的积分次序，

【答案】

3． 设D 是由

【答案】

所确定的上半圆域，则D 的形心的Y 坐标

_____。

_____。

【解析】

4．

【答案】

_____。

【解析】分区域去掉被积函数中的绝对值，则

5． 设D 是由曲线

【答案】【解析】 6． 设

【答案】【解析】设的偏导，

为函数

与直线x+y=0及y=2所围成的有界区域，则D 的面积为_____。

，其中

均可微，则_____。

对第一中间变量的偏导，为函数对第二中间变量

为函数g 对x 的导数。则

7． 设是由

【答案】【解析】令

为球体

所确定，则_____。

，则

8． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:

设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.

曲面曲线曲线【答案】（C ）

【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对.

，，

在点在点在点

的一个法向量为

的一个切向量为

的一个切向量为

由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）

取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确.

二、计算题

9． 设周期函数f （x ）的周期为2π，证明：

（1）若（2）若【答案】（1）

在上式第二个积分中令

则

同理得

及

当

时，

及

（2）与（1）做法类似，有

当

10．求幂级数

在其收敛域内的和函数。 时，

故有

于是有

则f （x ）的傅里叶系数则f （x ）的傅里叶系数

【答案】先求题设幂级数的收敛域。