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一、计算题

1． 设随机变量X 的分布律为

表

1

求

的分布律.

可取值为0、1、4、9, 则有

即Y 的概率分布如下

表2

【答案】由题意知,

2． 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数

试由这批数据构造经验分布函数并作图. 【答案】此样本容量为10, 经排序可得有序样本:

其经验分布函数

其图形如图所示

.

图

3． 设随机变量X 服从区间（2, 5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.

【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为

设Y 为此种观测（X>3）的次数，则

，由此得

4． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ）, 则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间是什么？

【答案】

5． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg , 标准差为1.2kg. 某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下:

设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取）？

，待检验的问题为

，查表知检验拒绝域为若取由样本数据算得，

此处值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常. 【答案】这是一个双侧假设检验问题，总体

6． 设

为自由度为n 的t 变量，试证:

的极限分布为标准正态分布

其中

故的特征函数为

【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知

由特征函数性质知从而由再按依概率收敛性知

这就证明了的极限分布为标准正态分布

注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些.

7． 设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为

已知事件

【答案】由同分布可得由此解得解得

8． 为研宄咖啡因对人体功能的影响，特选30名体质大致相同的健康男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平:

每个水平下冲泡10杯水，外观无差别，并加以编号，然后让30位大学生每人从中任选一杯服下，2h 后，请每人做手指叩击，统计员记录其每分钟叩击次数，试验结果统计如下表:

表

1

，进而由

独立，且

，从而

，求常数a.

请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？

【答案】我们知道，对数据作线性变换不会影响方差分析的结果，这里将原始数据同时减去240, 并作相应的计算，计算结果列入下表:

表

2