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一、计算题

1． 设随机变量

的联合分布列为

表

试求

【答案】由定义可知

的数学期望

2． 掷一颗均匀的骰子2次，其最小点数记为X , 求

【答案】X 的分布列为

表

所以

3． 设随机变量序列

试证:【答案】已知则

对任意的

由切比雪夫不等式得

即

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独立同分布，数学期望、方差均存在，且

记

令

结论得证.

4． 设随机变量X 服从区间（2, 5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.

【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为

设Y 为此种观测（X>3）的次数，则

，由此得

5． 设

是来自泊松分布

的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. （1）【答案】泊松分布

的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设

，

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

由于原假设成立下若令泊松分布

的

，故分位数为

. ，则由

可得，这里

的寻求还不是一件易事.

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

所以在给定理时，该检验的拒绝域为

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为

»

其中m 为如下整数

考察

的单调性，为此求其导数

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所以势函数大.

（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时的渐近分布

对给定的显著性水平

有

即拒绝域W 中的临界值譬如，

即当n=10时，若

和

时，有，则应拒绝原假设

是的严格增函数. 由此可知，在原假设

上

在

处达到最

6． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位:h ）:

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计. 【答案】样本均值样本标准差

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为

7． 设

试问n 应该多大，才能满足

【答案】因为.

所以由中心极限定理得

即所以得

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和

查标准正态分布函数值表得取

即可满足要求.