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一、解答题

1． 设

, 求

.

【答案】用泰勒公式,

两边积分可得

由此可得f （X ）的泰勒展开式

于是, 有

若令综上, 有

,

其中为自然数.

2． 设:

二阶可导, 且有稳定点; f :

且

, 则上式可改写为

（1）试求f 的所有稳定点;

（2）证明f 的所有稳定点都是退化的. 即在这些稳定点处, 【答案】（1）因为

r

令.

（2）设所以

即

为退化矩阵（n=1时结论不一定成立）.

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是退化矩阵（即在稳定点处）.

,

则

设的稳定点的全体为D , 所以f 的所有稳定点的全体

为

, x 0是, 的一个稳定点, 因为

*

3． 求下列函数在指定点的高阶导数:

（1）（2）【答案】（1）

,

（2）

4． 求下列不定式极限:

【答案】 （1）（2）（3）（4）

（5）（6）

（7）

,

.

.

, 求

, 求,

, , , ,

, ,

,

.

,

；

第 3 页，共 28 页

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因为所以

（8

）

（

9）（10）

（11）

（12）

因为

所以

5． 求

. 其中f （x , y ）为连续函数.

使得

其中

, 所以

第 4 页，

共

28 页

,

.

.

,

【答案】由中值定理知, 存在

.