2018年哈尔滨商业大学生命科学与环境科学研究中心601自命题理学数学之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以
2． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
可分离变量，即U 与V 相互独立.
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
3． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
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又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
4． 任意两事件之并
，这两个常数因子的乘积为1. 可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
5． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
时都为0, 等式得证.
相差一个常数因子，
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
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6． 设
证明: （1）（2）
是来自正态总体
是
的一个样本，若均值已知，
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效.
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