2018年哈尔滨商业大学生命科学与环境科学研究中心601自命题理学数学之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1．
设明:
由又因为故有
所以由马尔可夫大数定律知
2． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
时都为0, 等式得证.
服从大数定律.
为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律. 【答案】不妨设
知
为绝对收敛级数，可记
否则令
因为
并讨论
即可.
为绝对收敛级数.
令
证
3． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
存在，证明:对任意的 ，
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
4． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令
即可实现（这里默认
5． 设
令证明:
相互独立，
是充分统计量.
就可算得
与是一一对应的，因为给出
也可构造出
，
），因此，
是充分统计量.
相互独立，服从
且服从
则
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
6． 若因为
所以有 7． 设
是来自正态分布
的样本，证明，在给定
下
是充分统计量. 的条件密度函数为
，即得
.
相互独立，且服从
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
【答案】由条件，
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