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一、解答题

1． 设函数f （x ）在

计算

方法二当

时, 有

故

2． 求下列不定积分:

（1）由于

在

（2）

时

,

上连续, 故其原函数必在

, 当

即

, 因此

, 所以

（2）当当

. 由于

在

时

, 时,

上连续, 故其原函数必在

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内满足且,

【答案】方法一

【答案】（1）当时,

连续可微. 因此

上连续可微. 因此,

即

, 因此

. 所以

3． 设a>0, b>0, 求

【答案】当

和

.

时, 被积函数趋向于0, 所以积分是正常积分. 注意到

则原积分可写成

由于

在

（设a

记

, 连续使用分部积分法可得

即

于是

4．

【答案】原式= 5． 求

【答案】由于

之和.

, 所以考虑幂级数

当

时, 逐项积分有

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求导得

于是有

6． 求

【答案】由

的极值.

解得稳定点为（

1, 1, 1）和（-1, -1, -1）. 又

于是函数在点（

1, 1, 1）和点（-1, -1, -1）的海森矩阵分别为

而H 1为正定矩阵, H 2为负定矩阵, 所以（1, 1, 1）为极小值点, 极小值为极大值为

7． 设函数

其中

. 问:

与

都存在?

可知, 当

,

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为极大值点,

（1）对于P 的哪些值, f （x , y ）在原点连续? （2）对于p 的哪些值

, 【答案】（1）由

（3）对于p 的哪些值, f （x , y ）在原点有一阶连续偏导数? 并给出证明.

且

时, 有