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一、解答题

1． 分别用梯形法和抛物线法近似计算

【答案】（1）梯形法（取n=10）

（2）抛物线法（取n=10）

2． 若

【答案】由

, 计算

知

3． 设

【答案】令:由

两边求导有

4． （1）叙述无界函数的定义;

（2）证明

为

上的无界函数;

上的无界函数.

求则

（将积分区间十等分）.

（3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间

【答案】（1）设f 为定义在D 上的函数.

若对于任意正数M ,

都存在则称函数f 为D 上的无界函数.

（2）对任意正数M , 由于是, 取无界函数.

（3）设

5

． 求

【答案】由

显然,

为

上的无界函数

则

得

并且

故

使得

是上的

的极值.

解得稳定点为（1, 1, 1）和（

-1, -1, -1）. 又

于是函数在点（1, 1, 1）和点（

-1, -1, -1）的海森矩阵分别为

而H 1为正定矩阵, H 2为负定矩阵, 所以（1, 1, 1）为极小值点, 极小值为极大值为

6． 试求下列极限:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）当

时, 因为

为极大值点,

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且

（2）因为x , y 充分大时,

故

而（3）（4）因为

所以

且

故

7．

设有半径为

r 的半圆形导线, 均匀带电, 电荷密度为, 在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小.

【答案】如图所示, 在

处,

从

到

正电荷在垂直方向上的引力为

r

故导线与电荷的作用力为

图

8． 在什么条件下, 函数

【答案】（1）设

它们是同一函数的充要条件是可见, 当（2）设

时, 当且仅当此时

或

的定义域为

即

时, 它的反函数就是它本身.

此时

的反函数就是它本身?

要使反函数存在必有

函数

的反函数是

的一段导线的电量微元为

, 它对圆心处的单位