2018年山东科技大学信息科学与工程学院832概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（X ，Y ）服从区
域证:X 与Y 相互独立.
【答案】因为联合密度函数为
由此得，当由此得
时
；当
，即X 与Y 相互独立.
时
，其中
. ，所以（X ，Y ）的上的均匀分布，试
2． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率 （即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使知道
结果又是如何？
是来自二点分布
的一个样本，就是样本中购买
是的置信水平
为0.95的置信区间？其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事先
【答案】对第一个问题，设
此种商品的顾客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在未知时，有
，从而
即
这说明
要求该置信区间的长度不超过2d ， 即得
若
对第二个问题，当已知由于
在
当
时可分别算得
（或己知
是增函数，所以
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是的置信水平的置信区间.
.
，处理方法完全一样）时，，从而
样本量随d 的增加（精度减少）迅速降低.
这说明
间.
类似地，要求该置信区间的长度不超过2d , 即得到譬如，若已知
（即
），则
，仍取
. ，
.
，
，
.
是
的置信水平
的置信区
于是关于样本量的要求化为当
时分别算得
与完全未知情况相比样本量约减少
由此可见，若对事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.
3． 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是1/2, 现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.
【答案】记事件A ，B , C 分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件乙、丙获胜”. 则
因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以由此又可得 4． 设常数c 使得
【答案】由条件
:
独立，
因而
故
是来自
的样本，
试求
.
分别为“第i 局中甲、
即甲得冠军的概率5/14，乙得冠军的概率5/14, 丙得冠军的概率2/7.
服从t 分布，并指出分布的自由度.
且
相互
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这说明当时，自由度为
5． 在一个有n 个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.
【答案】记
则由此得
又因为但因为
间不独立，所以
为计算所以
因此
由此得
6． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
试求X 的特征函数. 【答案】
设
的特征函数为其中
又因为
是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为p
的几何分布
所以X 的特征函数为
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是同分布的，但不独立. 其共同分布为
所以
先给出的分布列，注意到的可能取值为
且