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一、计算题

1． 在总体于

【答案】样本均值

中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值落在

从而按题意可建立如下不等式

即

所以

函

故

或

即样

本量n 至少为4.

2． —个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.

【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有

种不同结果，即先

从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6×4×4×2×2×1种可能接法，由此得所求概率为

3． 设总体密度函数为1个样本，并取拒绝域为

【答案】由定义，检验的势函数

为检验

，试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率. 是检验拒绝原假设的概率，为

.

当当

时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，

即P

在0.5到0.75间变动.

；

，现观测内的概率不小

则n 至少为多少？

它是的函数，为

4． 设总体X 服从正态分布计量，考虑统计量:

为来自总体X 的样本，为了得到标准差的估

求常数注意到

与

使得

与

都是的无偏估计.

和 则

于是有

5． 设随机变量X 在区间（0, x ）上服从均匀分布, 求:

（1）条件概率密度（2）概率

.

的条件下Y 的条件概率密度分别为:

故当

时, 随机变量x 和y 的联合概率密度为

在其他点当

处, 有

时, Y的概率密度为

当

或

时,

. 因此

.

即

.

； 和

上服从均匀分布, 在

从而给出

的条件下, 随机变量Y 在区间

即可.

【答案】由期望的公式及对称性，我们只需要求出

（为什么? ）和

我们只需要求出如下期望即可完成本题:设

【答案】 （1） x 的概率密度与在

从而, 当（2）

时, 条件概率密度为

其中区域

.

,

6． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.

【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y =X+1服从几何分布以

，由此得

7． 设

为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为

试问

是否服从大数定律？

【答案】因为

即

存在，所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

8． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点，求两点间的距离小于a/3的概率.

【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离，Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离，

则

，且X 与Y 相互独立，它们的联合密度函数为

而P （x ，y ）的非零区域

与

的交集为图阴影部分，因此，所求概率为

.

，所

图

9． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率.

【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有

个，而事件“第一个盒子中