2018年山东科技大学信息科学与工程学院832概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 假定X 是连续随机变量，x 是对X 的（一次）观测值. 关于总体密度函数f （x ）有如下两个假设:
»
检验的判断规则是:若
侧拒绝原假设
，试求检验犯两类错误的概率.
犯第二类错误的概率为
这个检验犯两类错误的概率都不小，不是一个好的检验，主要原因是样本量太小.
2． 某地区漏缴税款的比率X 服从参数a=2, b=9的贝塔分布，试求此比率小于漏缴税款的比率.
【答案】贝塔分布
的密度函数为
因为
，所以
，因此
3． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，求极坐标
的联合密度.
【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，所以（X , Y ）的联合密度函数为
’记
，则
的概率及平均
【答案】由所给条件，犯第一类错误的概率为
所以
，由此
得
'
和
的联合密度函数为
4． 某厂产品的不合格品率为0.03, 现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？
【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9, 即式的
k
在此p=0.03, n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得式可改写为
查泊松分布表得
故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9. 5． 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为
. 如今餐厅有50个座位，但预定给了52
. 因为“顾客来到
6． 设随机变量X 服从区间与Y 不相关，即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为即X 与Y 不相关.
7． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.
（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？
【答案】我们先对问题作一简单分析:若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2,
.
，也就是求满足下述不等
，于是上
位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则
餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为
上的均匀分布，则X 与Y 有函数关系. 试证:X
所以
若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有数，则
，要检验的一对假设为
猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次
若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如
，故检验的p 值为
对此p 值作一些讨论:
（1）由于检验的p 值大于显著性水平犯第二类错误的概率如
，则
类似可算得
可见随着的増加，犯第二类错误的概率在变小. （2）我们知道，当譬如，若取
8． 设
时应拒绝原假设，因此，当
时拒绝原假设，
，因为独立同分布，
，则拒绝原假设，可相信他有这种能力.
服从以下分布，求相应的充分统计量:
已知:
未知:
分布:
.
，故应不拒绝原假设， ，对具体可算出
的值，
不能相信他具有预报未来股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误，
（1）负二项分布（2）离散均匀分布；（3）对数正态分布:（4）瑞利
【答案】（1）样本的联合密度函数为:
其中
由因子分解定理知
是充分统计量.
（2）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知
是充分统计量.