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一、计算题

1． 在一个有n 个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

则由此得

又因为但因为

间不独立，所以

为计算所以

因此

由此得

2． 已知在文学家萧伯纳的数X 近似地服从对数正态分布，叫中的单词数分别为

求该书中一个句子单词数均值.

的最大似然估计.

是同分布的，但不独立. 其共同分布为

所以

先给出的分布列，注意到的可能取值为

且

一书中，一个句子的单词

. 今从该书中随机地取20个句子，这些句子

【答案】正态分布的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即

由于最大似然估计具有不变性，因而

3． 一射手进行射击, 击中目标的概率为

（1）X 和Y 的联合分布律; 【答案】由题意, 令则X 和Y 的联合分布为

表示“第

的最大似然估计为

, 射击到击中两次为止, 设以X 表示首次击中

（2）条件分布律. 次和第j 次击中目标”, 那么

目标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数, 试求:

（2）x 的边缘分布为

Y 的边缘分布为

当

时

当

时

.

4． 对泊松分布

（1）求

，使

的费希尔信息量与无关.

;

，令

所以，

（其中c 为大于0的任意常数），

（其中为任意常数）.

，

（2）找一个函数【答案】（1）（2）则

5． 设为相互独立的随机变量，且都服从（0, 1）上的均匀分布，求三者中最大者大于其

三者中取值处于中间

则

他两者之和的概率.

【答案】

记的，或可将

看成为

因此所求概率为

注:上述积分中使用了恒等式

6． 为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位:mg/L）, 具体数据如下:

表

试用成对数据处理方法比较两种测定方法是否有显著差异，请写出检验的p

值和结论

【答案】一个水样用两种方法测定，测量数据是成对数据，其差列在上表数据的右侧，诸的样本均值与样本标准差分别可算得:

现在要检验的假设为

. 使用的检验统计量及其值如下

对给定的显著性水平由于

著差别，检验的p 值为0.0082.

，其拒绝域为

，查表知

，即两种测定污水中氯气含量的方法间有显

，

故应拒绝原假设