2017年成都信息工程大学应用数学学院610数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1．
设星形线
，
上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在
原点0处有一单位质点，求星形线的第一象限的弧段对这质点的引力。
【答案】取参数t 为积分变量，变化范围为[0，π/2]，对应区间[t，t+dt]的弧长为
该弧段质量为
该弧段与质点的引力大小为
因此曲线弧对这质点引力的水平方向分量、铅直方向分量分别为
因此所求引力
，即大小为
，方向角为。
3
2． 一物体按规律x=ct作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为设当t=T时，x=a，得
3． 求锥面
【答案】由
被柱面
解得
所割下部分的曲面面积。
，
（图）
，阻力为，故
，由此得到
。
。
故曲面在xOy 面上的投影区域
图
被割曲面的方程为
于是所求曲面的面积为
4． 设平面区域
【答案】由对称性可得
5． 求下列函数的一阶和二阶偏导数：
。
【答案】（1）
，计算
（2）
6． 求下列函数的极值:
【答案】（l ）令由
, 得驻点
知
为极大值, 由
知
为极小值。
内可导,
且
（2）函数的定义域
为
,
令（3）令由知
为极小值。
（4）函数的定义域为
, 在
, 得驻点, 得驻点
, 由
为极大值, 由
为极小值。
知
内可导, 且
为极大值, 由