2017年浙江财经大学数学与统计学院892概率论考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：
【答案】
2． 设总体X 的分布函数为
【答案】设
经验分布函数为
试证
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
若令于是
又
可写为
, 故有
3． 设随机变量序列证:
【答案】这时
仍为独立同分布, 且
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则是独立同分布的随机变量, 且
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且试
由辛钦大数定律知结论成立.
4． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
5． 设随机变量量.
【答案】
令
, 两边取对数, 并将
所以
收敛的方法知结论成立.
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）是充分统计量.
也可构造出（
,
, ）
1与
,
是一一对应的,
）就可算得（
）,
, 反之, 给出）
,
是充分统计量.
, 证明:当
时, 随机变量
, 则由X 的特征函数
..
展开为级数形式, 可得
按分布收敛于标准正态变
可
得
而
正是的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱
6． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
7． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
8． 设
的任意性知
为自由度为n 的t 变量, 试证:
结论得证.
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
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, 由因子分解定理,
弱收敛于分布函数
且
存在充分大的M , 使有
使有时, 任对
, 有
和
是的充分统计量•
都是连续、严格单调函数,
又设
关于x 是一致的,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
使当
对取定的h , 因为
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
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