2017年浙江财经大学数学与统计学院892概率论考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
2． 设随机变量
独立同分布, 且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
3． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并
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与相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
和
则
的密度函数为
则
所以
当
是相互独立的标准正态随机变量.
时,
, 所以
又因为
所
, 所以由
诸的相互独立性
得特征函数
为
的特征函数, 由唯一性定理知
（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为（5）因为
所以
所以
所以
为一事件域，所以
其中
故其对立事件
由
由
由（3）（有限交）得
得得
都服从区间（0，1）
4． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
5． 设随机变量
又
由
知
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
证明
则
也服从
从而
而
这就证明了
6． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:
【答案】
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【答案】若随机变量
7． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本.
（1）证明：【答案】（1）令
即
的分布与无关，并求出此分布.
的置信区间.
则
的分布与无关，其密度函数为
由于从而求得
在
上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为
的置信区间为
（2）取c , d 使得
的密度函数为
（2）求的置信水平为
8． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
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