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一、证明题

1． 如果

且.

有

故当即对任意的

时, 有

有

于是有

从而

成立, 结论得证.

2． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

3． 试证：对任意的常数

有

【答案】于所以

4． 证明：对正态分布

由此得

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的

由

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而

的最大

似然估计不存在.

5． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

6． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知

,

理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

7． 设

是总体

的简单随机样本，

记

（I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ）

的无偏估计量； 时，求DT 。

故T 是

的无偏估计量。（II ）当

8． 设

为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且

时，

【答案】因为由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

二、计算题

9． 设随机变量X 服从二项分布b （n ，p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩：

（4）最后计算偏度

与峰度

由此可见：二项分布在p=l/2时是对称分布；当pl/2时，二项分布负偏

.