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2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题（一） ... 2 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题（二） . 12 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题（三） . 22 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题（四） . 30 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题（五） . 38

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一、证明题

1． 设在常数c

为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有

则

证明:

服从大数定律.

对任意的

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

2． 证明下列事件的运算公式:

（1）（2）

【答案】（1）右边=（2）利用（1）

有

=左边. , 所以

. ，则

另一方面，还有

综合上述两方面，可得

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. 又设

有

为一列常数，如果存

【答案】不妨设

服从大数定律.

3． 证明:

【答案】不妨设

4． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令

证明:【答案】

服从大数定律.

为同分布随机变量序列，其共同分布为

表

且

从而

又当

时,

与独立，所以

又因为

于是有

即马尔可夫条件成立，故

5． 设

服从大数定律.

证明:

服从大数定律.

相互独立，且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

6． 设

分别是

服从大数定律.

【答案】因

为独立随机变量序列，且

的UMVUE ，

是的UMVUE ，故

于是

►

，且对任意一个

，

，分别是

证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足

，由判断准则知

因此

是的UMVUE.

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7． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

分布

的特征函数，由唯一性定理知

8． 设随机变量独立同分布，且

且X 与Y 独立，

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

这正是伽玛分布

9． 用概率论的方法证明:

所以由

诸的相互独立性

得的特征函数

为

的特征函数，由唯一性定理知

【答案】设故

服从参数

为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数

又由泊松分布的可加性知，

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知

10．设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由由于X 的概率密度为

所以

是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

相互独立知,

也相互独立,

所以

时,

分别为样本的均值的泊松分布

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

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