2018年西安财经学院统计学院801统计学综合之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
2． 设
证明
则
也服从
从而
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
3． 设随机变量
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
由此得
4． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
5． 设
【答案】若
证明
:
因为
的特征函数，由唯一性定理知
服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
且X 与Y
所以
因为X 与Y 相互独立，
所以由X 与Y 的独立性得
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由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
6． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以
可分离变量，即U 与V 相互独立.
7． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
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