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一、计算题

1． 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.

【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有6! 种不同结果，即先从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，

这总共有

种可能接法，由此得所求概率为

2． 设总体为

为样本, 试求常数k , 使得

【答案】

由于Z 取值于（0, 1）, 故由题目所给要求有

从而

于是 3． 设

【答案】由于

是总体

的一个样本, 求

的分布.

这给出

为独立同分布的N （0, 1）随机变量, 故

且两者独立, 故

4． 已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是夫不等式估计每升血液中的白细胞数在

至

标准差是之间的概率的下界.

试利用切比雪

【答案】记X 为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知

所以由切比雪夫不等式得

5． 设X 服从泊松分布，且已知P （X=l）=P（X=2），求P （X=4）.

【答案】由

6． 求以下分布的中位数：

（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分有（3）对数正态分布【答案】（1）从1（2）记

（3）

记则由（2）知

由此得

即

7． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）.

【答案】因为X 的可能取值为0，1，2，…，5，且

将计算结果列表为

表

由

令X=Iny，

则

中解得

可得又记

为Y 的中位数.

得

从中解得X=2，由此得

为X 的中位数，

由此得

8． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?

【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为

表

1

所以保险公司的期望收益

为

中解得

所以取

即可满足要求.

表

2

由此可见，若特定事件A 发生的概率超过0.4时，再参加此种保险己无多大实际意义了.

由

即

从

注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有

二、证明题

9． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

10．若

【答案】由

时, 有

当, 结论得证.

试证

：

得

令

时, 有