2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库
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2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（一） . 2 2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（二）11 2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（三）19 2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（四）26 2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（五）35
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一、证明题
1． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
都是θ的无偏估计；
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
因此在均方误差意义下，的估计有
优于
故
因此当
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如
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的
估计中， 2． 设明:
最优.
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设
为绝对收敛级数. 令
证
服从大数定律. 【答案】不妨
设
又因为
否则
令
. 因为
故有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
在
当
再令（1）
这时存在N , 使得当n>N时, 有
对任意的当
时, 有
由（1）, （3）式可得
即有
, 结论得证. 必存在某个i , 使得
由（2）式知,
上一致收
时,
有
,
, 并讨
论
即可.
由
知
为绝对收敛级数, 可记
3． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.
【答案】
对任意的点
:
则有
弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:
取M 充分大,
使有当
使有
时,
有
对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分
4． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当
时, 记Y=X, 试证
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常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
, 但是X 与Y 不独立；
（3）若
【答案】（1）因为
相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:
的密度函数为
与同分布.
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性, 设
, 由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布, 其密度函数为
若与相互独立, 则
的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,
的柯西分布.
时有
,
,
服从参
这正是参数为数为
（2）当所以
由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3
）设得:
即
5． 设
的特征函数为
不能推得X 与Y 独立.
, 由相互独立性
都服从参数为的柯西分布,
则特征函数为
与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布. 是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
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, 与分别是两个样本方差.
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