2018年广西大学数学与信息科学学院624数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若函数f 在区间上处处连续, 且为一一映射, 则f 在上严格单调.
【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然,
则至少存在三个点
注意到f 在上连续, 对f 分别在区间
, 使得
再证明f 在上是严格单调的. 不妨设f
在上是单调递增的, 则对任意的, 故必有 2． 设
等式的几何意义吗?
【答案】由于当
时, 原不等式化为
上式等价于
两边平方, 得
即
由于即
当
所以上式等价于
时, 这个不等式是成立的. 所以原命题成立.
其几何意义表示
的两
题中不等式的几何意义如图所示, 其中
边之差小于第三边.
故只需对
的情形进行证明. 有
. 注意到f 在上是一一对应
, 这表明f 在上是严格单调的.
证明
:
. 你能说明此不
满足和
但
, 而
而
和. 由
于f 是一一映射, 所以上述不等式为严格的, 即
上应用介值定理, 则存在
这与f 是一一映射相矛盾, 所以f 是单调的.
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图
3． 证明:若f （x ）在[a, b]上可积,
【答案】已知f （
x ）在[a, b]上可积, 故任给上增加
两个分点, , 得到一个新的分割T’, 则由上题结论知
分割T’在
上的部分, 构成
的一个分割,
记为
, 则有
故由可积准则知, f （x ）在
上可积.
, 则f （x
）在
上也可积.
, 在T
, 存在对[a, b]的某分割T
, 使得
4． 证明施瓦兹（Schwarz ）不等式:若f 和g
在[a, b]
上可积, 则
f x ）
【答案】若（与g （x
）可积, 则也可积,
又即
由此推得关于t 的二次三项式的判别式非正, 即
故
. 故
都可积, 且对任何实数t ,
二、解答题
5． 计算四重积分
【答案】作变换则得
, 其中V :.
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6． 求出函数
在（1
, 1）点邻域带皮亚诺余项的泰勒公式.
其中
.
7． 求下列方程组所确定的隐函数组的导数
.
（1
）（2）
（3
）
, 求求, 求
对方程组两边x
求导, 得
解此方程组得
（2）方程组关于x 求偏导, 得
解得:
方程组关于y 求偏导数, 得
解得
（3）把u , v 看成x , y 的函数, 对x 求偏导数
【答案】利用一元函数的泰勒公式,
有
【答案】（1
）设方程组确定的隐函数组为